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Mudança de variável na integral definida
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Usando mudança de variável na integral indefinida e o teorema fundamental do cálculo:
t = x2 Þ dt = 2xdx
Usando mudança de variável na integral definida:
t = x2 Þ dt = 2xdx
Dada a integral definida
o procedimento prático para se aplicar mudança de variável é apresentado a seguir
t = g(x) Þ dt = g´(x)dx
x = a Þ t = g(a) e x = b Þ t = g(b)
Este procedimento é baseado na seguinte proposição
Sejam J um intervalo e g: [a, b] ® J uma função com derivada contínua e f : J ® R uma função contínua. Então,
t = x +1 Þ dt = dx
x = -1 Þ t = 0 e x = 2 Þ t = 3
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e tg(q ) = t/3 Þ t =3. tg(q )Þ dt = 3.sec2(q )dq e |
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q = arctg(t/3), t = 3 Þ q = arctg(1) = p /4 e t = 0 Þ q = arctg(0) = 0 |
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Integração por partes (integral definida)
Se u(x) e v(x) são funções definidas em [a, b] que possuem derivadas integráveis então, 
u = x Þ du = dx
dv = cos(x) Ü v = sen(x)
Outras propriedades da integral definida
| Se f(x) é uma função par e contínua em [-a, a] então |
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Se f(x) é uma função ímpar e contínua em [-a, a] então
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Se f(x) é uma função contínua em R e periódica de período T então para todo a Î R temos |
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.
f(x).(cos(x) +sen(3x)) tem período 2p , então
f(x).sen(3x) é função ímpar e f(x)cos(x) é função par , então
Demonstrações
Se F(x) é uma primitiva de f(x), pelo teorema fundamental do cálculo
Pela regra da cadeia,
[F(g(x))]´= F´(g (x)).g´(x) e pelo teorema fundamental do cálculo
Com (*) e (**) fica demonstrada a proposição.
Demonstração da Propriedade i):
t = -x Þ dt = -dx e x = -a Þ t = a, x = 0 Þ t = 0 temos.
Demonstração da Propriedade ii) :
t = -x Þ dt = -dx e x = -a Þ t = a, x = 0 Þ t = 0 temos.
Demonstração da Propriedade iii):
Vamos mostrar que I2 = - I1
t = x -T Þ dt = dx e x = T Þ t = 0, x = a +T Þ t = a temos.
Como f tem período T, f(t) = f(t + T), Logo
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