Exemplo 5:

Cálculo de áreas de figuras planas – (coordenadas cartesianas)

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Observação 1	Exemplo 1	Exemplo 2	Observação 2
Exemplo 3	Exemplo 4	Exemplo 5	Exemplo 6
Observação 3	Exemplo 7

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Observação 1: Dada f(x) uma função contínua em [a,b], se A é a área da região do plano cartesiano limitada pelo eixo Ox e pela curva y = f(x) e tal que
a £ x £ b então

Exemplo 1: Calcular a área da figura do plano limitada pela curva y = tg(x) e o eixo OX e tal que -p /3 £ x £ p /4.



t = cos (x) Þ dt = -sen (x) dx.
x = -p /3 Þ t = cos(-p /3) = 1/2
x = 0 Þ t = cos(0) = 1 e

Exemplo 2: Calcular a área da figura do plano limitada pela curva y = log₂(x) e o eixo OX e tal que
1/2 £ x £ 4.



dv = dx Ü v = x

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Observação 2: Dadas f e g funções contínuas em [a,b], se A é a área da região do plano cartesiano limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e tal que a £ x £ b então

Exemplo 3: Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas

Exemplo 4: Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas

Para determinar os limites de integração fazemos a intersecção das curvas:

Pela simetria da figura temos

Exemplo 5: Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas

Neste exemplo convém tomar y como variável independente e as funções


As intersecções da parábola e da reta são os pontos (-1,-1) e (1, 1)
A=

Exemplo 6: Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas







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Observação 3: Se f e g são funções contínuas em R, para calcular a área da região entre as curvas y = f(x) e y = g(x) necessitamos apenas conhecer os pontos de intersecção entre as curvas e o sinal de f(x) – g(x). Não há necessidade de mais detalhes sobre o gráfico de f ou de g.

Exemplo 7: Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas

y₁ = x⁵ – x³ +2x² – x + 3 e y₂ = x⁴ + x³ +2x² – x + 3.

Interseções: y₁ = y_{2 Þ}x⁵ – x⁴ - 2x³ = 0 Þ x³(x² – x - 2)= 0 Þ

Þ x³(x + 1)( x - 2) = 0 Þ x = 0 ou x = -1 ou x = 2

Sinal de y₁ - y_{2 =} x³(x + 1)( x - 2):

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