Cálculo de áreas de figuras planas – (coordenadas polares)
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Como foi visto na Matemática Básica, as coordenadas polares são usadas para representar pontos de um plano.
Para definir um sistema de coordenadas polares, consideramos um ponto O do plano (chamado origem ou pólo) e uma semi-reta orientada com extremidade O ( o eixo polar). Dado um ponto P ¹ O do plano tomamos,
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r e q são coordenadas polares de P e representamos P = (r, q ) |
Dado um ponto qualquer do plano, as suas coordenadas polares não são únicas.
Representar graficamente os pontos de coordenadas polares
Como estes ângulos são côngruos temos P1 = P2 = P3
As coordenadas do pólo são (0, q ) para todo q Î R .
Tomamos também valores negativos para a coordenada r. Se r é negativo, o ponto de coordenadas polares (r, q ) é tal que (-r, q + p ) são também coordenadas deste ponto
Exemplo 2: Representar graficamente o ponto de coordenadas polares
Suponhamos neste mesmo plano um par de eixos cartesianos XOY de modo que o semi-eixo OX positivo coincida com o eixo polar.
Se P é um ponto qualquer do plano de coordenadas polares (r, q ) e coordenadas cartesianas (x ,y) então
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x = r.cos(q ) |
y = r.sen(q ) | x2 + y2 = r2 |
Consideremos as curvas a seguir e suas equações em coordenadas polares
3.1) O círculo da raio ro e centro na origem tem equação polar r = ro
3.2) A reta que passa pela origem e faz um ângulo q o com o sentido positivo do eixo OX tem equação polar q = q o
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Área de um setor circular
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A área de um setor circular de raio r e ângulo central q é igual a |
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Proposição 1: Seja a equação polar de uma curva dada pela função contínua r = r (q ) para a £ q £ b tal que b - a £ 2p e r ³ 0. A área da região do plano limitada pelas retas de equações polares q = a e q = b e a curva r = r(q ) é igual a.
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Demonstração.
Para todo q tal que a £ q £ b , seja A(q ) a área como indicada na figura abaixo.
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Vamos calcular |
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Para D q > 0 , tomando-se no intervalo [ q , q + D q ], rM e rm o maior e o menor raio, as áreas dos setores circulares com ângulo central D q e esses raios são
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Para D q < 0 segue de modo análogo. |
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Pelo teorema fundamental do cálculo |
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Exemplo 4: Calcular a área limitada pela cardióide r (q ) = a.(1 – cos(q )) |
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r (q ) = a.(1 ± cos(q )) e r (q ) = a.(1 ± sen(q ))
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Exemplo 5: Calcular a área limitada pelas pétalas da rosácea r = a.sen(2q ), a > 0 |
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Trata-se de uma rosácea de 4 pétalas. Devido a simetria das pétalas, basta calcular a área de uma delas e multiplicar por 4. |
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r = a.cos(nq ) e r = a. sen(nq ), para n =1, 2, 3..., que possuem
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Exemplo 6: Calcular a área limitada pela lemniscata r2 = 4.cos(2q ). |
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Como q deve ser tal que cos(2q ) >0, então, na 1a volta,
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Devido a simetria dos semi-laços, basta cal cular a área de um deles e multiplicar por 4.
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r2 = a.cos(2q ) e r2 = a. sen(2q )
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Exemplo 7: Calcular a área entre a 1a e a 2a volta da espiral (exponencial) r = eq , com 0 £ q . |
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Exemplo 8: Esboce a limaçon (com laço) de equação polar r = a.(1 – 2sen(q )) e determine uma expressão em integrais que represente a área da região do plano que se encontra no interior da curva e fora do laço.
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r = a ± b.cos(q ) e r = a ± b.sen(q ) que possuem laço se a < b
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Exemplo 9: Determine uma expressão em integrais que represente a área da região do plano sombreada na figura ao lado onde temos o arco da espiral de Arquimedes de equação polar r = q ; -p £ q £ p . |
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Exemplo 10: Determine uma expressão em integrais que represente a área da região do plano interior a ambas as curvas de equações polares r =1 + cos( q ) e r = 3cos( q ) |
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r =1 + cos( q ) é equação de uma cardióide e r = 3cos( q ) é equação de um círculo. |
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Obtendo a interseção das duas curvas : 3cos( q ) = 1 + cos( q ) Þ cos( q ) = 1/2 Þ q = ± p /3 + 2kp |
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q , uma ângulo formado pelo eixo polar e OP, tendo origem no eixo polar, positivo se orientado no sentido anti-horário e negativo se no sentido horário.
