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Comprimento de arco (curvas dadas por equações paramértricas)
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| Dedução da fórmula para comprimento de arcos | Observação 2 | ||
| Exemplo 2 | Exemplo 3 | Exemplo 4 | |
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Dedução da fórmula para comprimento de arcos
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Seja uma curva dada por equações paramétricas contínuas |
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tais que t1 ¹ t2 Þ ( x( t1), y(t1) ) ¹ ( x(t2), y(t2) ) (não queremos repetir trechos da curva) |
Vamos determinar (ou melhor,definir) o comprimento L da curva:
Tomemos números t0, t1, ..., tn tais que
a = t0 < t1 < …ti-1 < ti <... tn = b e pontos sobre a curva Pi = ( x(ti),y(ti) ), para i = 1,...n.
O comprimento da linha poligonal
é uma estimativa para L, e tomando-se pontos Pi cada vez mais próximo uns dos outros espera-se que este comprimento se aproxime cada vez mais de L . Isto é, indicando a distancia entre Pi-1 e Pi por d(Pi-1, Pi ) temos
L @ d(P0, P1 ) + d(P1, P2 ) +… + d(Pn-1, Pn )
Da geometria analítica temos,
Supondo que cada uma das funções y(t) e x(t) tenha derivada contínua, pelo teorema do valor médio para derivadas, em cada intervalo [ti-1,ti ] existem a i , b i Î [ti-1,ti ] tais que x(ti) - x(ti-1) = x´(a i).(ti - ti-1) e y(ti) - y(ti-1) = y´(b i).(ti - ti-1)
Indicando D ti = (ti - ti-1) temos
Então,
Como y´(t) e x´(t) são contínuas,
: Use integral para calcular o comprimento do círculo de raio 4 e centro (1, 2).
Sejam as equações paramétricas do círculo
Com estas equações não há repetição de trechos da curva
O comprimento da elipse (que não seja círculo) não pode ser calculado de forma análoga pois para a2 ¹ b2 a integral
não pode ser representada usando funções elementares.
: Esboce e calcule o comprimento de arco da curva de equações paramétricas
Temos,
Usando apenas estas informações temos a seguinte representação gráfica para a curva
Pela maneira como a curva é descrita pelas equações, vemos que não há repetição de trechos. Logo,
Usando a fórmula
Temos
Então de acordo com o sinal de cos(t/2),
A figura a seguir apresenta esta curva de forma mais exata.
: Esboce a curva e calcule o comprimento de arco do laço da curva de equações paramétricas
Temos,
De acordo com as equações (*),
Calculando a auto-intersecção:
Sejam t1 < t2 tais que x(t1) = x(t2) e y(t1) = y(t2).
x(t1) = x(t2) Þ (t1)2 +1 = (t2)2 +1 Þ t1 = ± t2 Þ t1 = - t2 .
t2 = 0 Þ t1 = t2 (não serve!).
.
Temos,
Esboçando a curva com estas informações
Calculando o comprimento do laço
Como t2 +1 é positivo para todo t,
Segue a representação da curva mostrando sua concavidade
: As equações paramétricas a seguir dão a posição de uma partícula em cada instante t, durante o intervalo de tempo 0 £ t £ p .
a) Calcule a distancia total percorrida pela partícula.
b) Verifique se há trechos da trajetória que são repetidos durante o movimento.
c) Esboce a trajetória e calcule seu comprimento.
a) Basta aplicar a fórmula do comprimento de arco no intervalo 0 £ t £ p (se houver repetição de algum trecho, deve ser contabilizada).
De acordo com o sinal de sen(t).cos(t), temos
Com a mudança de variável z = sen(t) temos,
b) Vamos determinar valores de t tais que t1 < t2 e (x(t1),y (t1)) = (x(t2),y (t2)):
Das equações (*) temos,
.
Então nos instantes t2 e t1 tais que t1 Î [0, p /2] e t2 = p - t1, a partícula ocupa a mesma posição.
Concluímos que após t = p /2 a partícula repete (retorna) a mesma trajetória descrita até este instante.
c) De acordo com b) só precisamos trabalhar com t Î [0, p /2]. Com as equações (**) temos
Esta trajetória é de fato um segmento da reta y = (1-2x)/2 (tente verificar!)
De acordo com o que foi discutido antes, o comprimento da trajetória é igual à metade da distância percorrida pela partícula, ou seja,
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