Comprimento de arco de curvas (coordenadas cartesianas)

Índice
Comprimento de arco de curvas dadas por equações cartesianas
Dedução da fórmula	Observação 1	Exemplo 1
Curiosidade	Exemplo 2
Comprimento de arco de curvas dadas por coordenadas polares

Dedução da fórmula Exemplo 3 Exemplo 4

Exemplo 5

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Comprimento de arco de curvas dadas por equações cartesianas

Dedução da fórmula:
Vamos determinar o comprimento de arco de curvas que são gráficos de funções y = y (x) ou x = x(y).

Uma curva dada pela equação y = y(x), com x Î [a, b, ] pode ser parametrizada fazendo x = t e tomando as seguintes equações

Se y = y(x) possui derivada contínua, então

e o comprimento de arco é dado por

É claro que não há necessidade de usarmos a variável t (já que t = x), Logo,

De modo análogo, para x = x(y),

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Observação 1: No caso presente, é claro que não há repetição de trechos da curva – durante todo o tempo o ponto móvel se desloca para a direita.

Exemplo 1: Calcule o comprimento de arco da curva de equação

Como e^x +e^-x > 0 para todo x ,

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Curiosidade:

As funções

são o cosseno hiperbólico e o seno hiperbólico.

O gráfico do cosseno hiperbólico (figura abaixo) é uma "catenária" e tem a forma de um fio flexível preso pelas pontas e deixado sob ação da gravidade.

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Exemplo 2: Calcule o comprimento do arco de parábola

Usando substituição trigonométrica

y = 0 Þ t = arctg(0) = 0 e

y = 1 Þ t = arctg(1) = p /4

temos

z =sen(t) Þ dz = cos(t)dt

t = 0 Þ z = sen(0) = 0 e

Continue!

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Comprimento de arco de curvas dadas por coordenadas polares

Dedução da fórmula.

A curva r = r(q ), com q Î [a , b ] , pode ser parametrizada pelas equações em coordenadas cartesianas:

Supondo que r = r(q ) possue derivadas contínuas temos:

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Exemplo 3: Esboce e calcule o comprimento do arco da espiral exponencial

r = e^-q, 0 £ q £ 2p

Temos que r decresce à medida que q cresce e

r(0)= e⁰ =1 e r(2p ) = e^-2p

Com estas informações temos a seguir o esboço da curva

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Exemplo 4: Esboce e calcule o comprimento do arco da curva de equação polar

r = q ² –1 -2 £ q £ 2

Como r(q ) = r(-q ), a curva é simétrica em relação ao eixo OX e basta esboçar o arco correspondente a q Î [0, 2] e em seguida aplicar uma reflexão em torno de Ox para obtermos o arco correspondente a q Î [-2, 0].

Tomando q Î [0, 2] temos: