Tomemos um plano a e uma região R deste plano, com área A limitada por uma curva fechada C. Consideremos uma reta r perpendicular ao plano a e tomemos a superfície cilíndrica tal que C seja sua diretriz e r uma geratriz (isto é, obtida pela reunião de todas as retas paralelas a r passando por algum ponto de C).

Consideremos um plano, b , paralelo a a . A região do espaço limitada pela superfície cilíndrica e pelos dois planos é um cilindro de base R e altura h, sendo h a distância entre os dois planos. O volume do cilindro é, V = A.h.

Dado um sólido, tomemos um eixo orientado OX e, para todo número real x, o plano perpendicular a OX em x (isto é passando pelo ponto de abscissa x do eixo). Suponhamos que:

• Para todo x Î R , o plano em x intercepta o sólido se, e somente, se x Î [a, b]. 

• Se  x Î [a, b] a intersecção é uma região desse plano com área   que     indicaremos     por A(x)..

Tomemos números x₀, x₁, x₂, ..., x_n Î [a, b] tais que
a = x_{0 <} x_1< x_{2 <} ... < x_n = b e números a₁, a₂, ..., a_n tais que   a_i Î [x_i-1, x_i].
O cilindro cuja base é a intersecção do plano perpendicular ao eixo OX em a_i com o sólido e cuja altura é (x_{i -} x_i-1) tem volume igual a A(a_i )(x_{i -} x_i-1) e então

Exemplo 1: Calcular o volume de uma pirâmide cuja base é um quadrado de lado 2 e cuja altura é 3.

Tomemos o eixo OY perpendicular ao plano da base da pirâmide, ortogonal a um dos lados da base e sua origem e orientação como indicados na figura ao lado.

Para relacionarmos L e y, tomemos:
 _Um plano perpendicular ao plano da base, paralelo a um dos lados dessa base e contendo o eixo.
_A projeção da pirâmide neste plano (veja figura ao lado).

Usando semelhança de triângulos temos

Logo,

Podemos escolher um eixo OY qualquer. Como indicado na figura ao lado, escolhemos um eixo tal que o plano perpendicular a ele na origem passa pelo centro da esfera.

Para todo y Î [-2, 2] a secção plana transversal a OY é um círculo cujo raio varia com y e que indicaremos por r. Então a secção plana tem área A = p r² e o volume da esfera é dado por

Para relacionarmos r e y, tomemos a intersecção da esfera com um plano que contenha o eixo e passe pelo seu centro.

Pelo Teorema de Pitágoras (veja figura ao lado),

Logo,

• Se c> 0 , um círculo no plano z = c de equação
   x² + y²  = c . Portanto com raio 
  .   

• Se c = 0, o ponto (0,0)
• Se c < 0, vazia

Logo trata-se de uma superfície de revolução em torno de OZ.

Para  considerar   a   intersecção  da   superfície com o plano YOZ, substituímos x = 0  na equação  z = x² + y²   obtendo   a equação da parábola   z = y² . Portanto a superfície é gerada pela rotação desta parábola em torno de OZ (é um parabolóide de revolução).

Na figura ao lado temos um esboço do sólido limitado pela superfície e pelo plano z = 1.

Cálculo do volume: 

Para todo z Î [0, 1] a secção plana transversal a OZ

do sólido é dado por

Clique na figura  para ver a superfície sendo gerada

Para considerar a intersecção da superfície com o  plano  YOZ  e  com o plano  XOZ,  substituímos x = 0 e y = 0 na equação (*) obtendo as parábolas

Trata-se de um parabolóide elíptico.Ou seja, a representação gráfica é semelhante  à do parabolóide de revolução _ basta substituir os círculos por elípses.

De acordo com o sinal de 1-c², temos que a intersecção é:

• Vazia, se c > 1 ou c < -1.
• (0,0) , se c = -1 ou c = 1
• Uma elípse no plano z = c, de equação

      se -1 < c <1

Logo a intersecção com o plano

x = c é:

• Vazia, se c > 1 ou c < -1.
• A reta do plano x = c de equação y = 0 , se c = -1 ou c = 1
• A região do plano x = c limitada pelas duas retas paralelas 
  
  se - 1 < c <1

Logo a intersecção com o plano

x = c é:

• Vazia, se c > 1 ou c < -1.
• A reta do plano x = c de equação z = 0 , se c = -1 ou c = 1
• A região do plano x = c limitada pelas duas retas paralelas 
   
  se 1 < c <1