Volume - Método das seções planas transversais
(Continuação)
Calcular o volume do sólido cuja base é um círculo de raio 3 e cujas seções transversais
Tomemos um eixo orientado cuja origem é o centro do círculo e que contém o diâmetro (figura ao lado). |
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Portanto, |
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Calcular o volume do sólido cuja base é uma elípse de semi-eixos iguais a 2 e 3 e cujas seções transversais ao eixo maior são triângulos equiláteros.
Tomemos um sistema de eixos cartesianos tal que OX coincida com o eixo maior (figura ao lado) e O coincida com o centro da elípse. Nesse sistema de eixos a elípse tem equação A seção transversal em x é um triângulo equilátero de lado L que varia com x. Logo, |
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sua área é igual a
o volume do sólido é Como L = 2y então ( pela equação da elípse) |
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Calcular uma expressão em integrais que represente o volume do sólido cuja base é a região do plano limitada pela parábola x = y2 –1 e a reta x = y + 1 e cujas secções transversais a OY são triângulos retângulos, isósceles tais que a hipotenusa se encontra sobre a base do sólido
A região R está representada na figura ao lado. A seção transversal em y é um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa b e altura h (relativa a hipotenusa), que variam com y. Logo, sua área é
o volume do sólido é |
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Como b = x1 – x2 = y +1 – (y2 –1) = – y2 + y + 2 Então |
Calcular uma expressão em integrais que represente o volume do sólido cuja base é um triângulo retângulo ABC de catetos AB e AC com comprimentos 3 e 4 e cujas secções transversais a AC são semi-círculos com diâmetros sobre a base do sólido.
Considerando o eixo OX como indicado na figura ao lado, a seção transversal em x tem área |
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sendo r o raio do semi-círculo. O volume do sólido é Usando semelhança de triângulos |
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Logo, |
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