Integrais Impróprias

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Exemplo 1: Dada a função f(x) = 1/x2, fixemos b ³ 1 e tomemos a área A(b) da região do plano limitada pelo gráfico da função, o eixo OX e as retas x = 1 e x = b (figura ao lado). Temos então que

A área da figura limitada pelo gráfico da função, o eixo OX e a reta x = 1 (veja figura ao lado) é dada por

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Definição 1: Seja y = f(x) uma função contínua em [a, +¥ ). Dizemos que a integral imprópria de f em [a, +¥ ) converge e é igual a

caso este limite exista (e seja finito), caso contrário dizemos que a integral imprópria de f em [a, +¥ ) diverge.

Usamos a notação:

No exemplo anterior temos

.

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Exemplo 2: Estude a convergência da integral

Temos

Usando integração por partes para resolver a integral definida temos

u = x Þ du = dx

dv = e^xdx Ü v = e^x

Temos

.

Então,

Usando a regra de L´Hospital,

De (1) e (2) segue-se que I converge e I = -1

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Exemplo 3: Estude a convergência da integral

Temos

Tomando a mudança de variável t = e^x temos dt = e^xdx,

x = 0 Þ t = 1

x = b Þ t = e^b

Usando frações parciais,

temos uma indeterminação do tipo ¥ /¥. Usando L´Hospital , 

Então I converge e

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Exemplo 4: Determine os valores de a Î R para os quais a integral

converge.

Temos

Para a ¹ -1:

Calculando o limite a seguir

:

Para a +1 >0, ou seja, para a > -1 temos

Para a +1 < 0, ou seja, para a < -1 temos

Então,

Para a = -1 temos

Portanto a integral converge se, e somente se a < -1

Vamos considerar a seguir integrais impróprias em R

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Definição 2: Seja y = f(x) uma função contínua em R. Tomemos a Î R um número qualquer. Dizemos que a integral imprópria de f em R converge e é igual a

caso estas integrais sejam ambas convergentes. Caso contrário (isto é, se pelo menos uma dessas integrais diverge) dizemos que a integral imprópria de f em R diverge.

Usamos a notação:

A definição acima independe do número real a considerado (veja justificativa em sala de aula)

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Exemplo 5: Estude a convergência da integral

Tomemos a = 0 e as integrais

Como foi visto no Exemplo 2, I₂ converge.

Temos

Usando integração por partes (veja Exemplo 2),

Como I₁ e I₂ divergem então I também diverge.

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Exemplo 6: Na figura a seguir a região sombreada é limitada pelo gráfico da função
.
e o eixo OX. Verifique se existe um número real k que represente a área dessa região.

O domínio de f(x) é R e é uma função contínua pois trata-se de uma função racional cujo denominador não se anula. Além disso, f(x) > 0 para todo x Î R. Se existe k devemos ter

Sejam as integrais

Temos,

Portanto existe k e k = p /2 + p /2 = p

Exemplo 6: Verifique se existe um número real k que represente o comprimento de arco da espiral de equação polar r = e^q com q £ 0 .

A existência de k é equivalente a

ser convergente. Temos,

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