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I) Determine e represente graficamente.

i) Domínio de f.

ii) Curvas de nível.

iii) Interseções com os planos coordenados.

II) Esboce o gráfico de f usando os itens de I).

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i) D(f) = R²

Representação gráfica do domínio

ii) Curvas de nível

Seja a equação x² + y² = k.

Como x² ³ 0 e y² ³ 0 então se k < 0 a equação não tem solução. Ou seja, para qualquer k < 0

(abaixo do plano XOY) a curva de nível correspondente é o f .

Fazendo k = 0 (intersecção com o plano XOY), a equação x² + y² = 0 tem solução x = 0 e y = 0.

A curva de nível em z = 0 é (0, 0).

Fazendo k > 0, a equação x² + y² = k pode ser escrita como

Portanto para qualquer k > 0 a curva de nível correspondente é um círculo de raio

.

Representação gráfica das curvas de nível

Como todas as curvas de nível são  círculos com centros em (0, 0) concluímos que o gráfico 
de f(x,y) é uma   superfície de revolução em torno de OZ.

iii) Interseções com os planos coordenados.

Ç XOY: Já foi obtido, corresponde à curva no nível z = 0.

Ç XOZ: Fazendo y = 0 na equação z = x² + y². obtém-se z = x², equação de uma parábola

Representação gráfica

Ç YOZ: Fazendo x = 0 na equação z = x² + y². obtém-se z = y², a parábola obtida em XOZ.

Concluímos que o gráfico é um parabolóide de revolução

II) Gráfico de f

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Exemplo 1.2 f (x, y) = 1 - y²

i) D(f) =R²

Representação gráfica de  D(f): Figura 1

ii) Curvas de nível

Seja a equação 1 - y² = k. Extraindo o valor de y temos

Logo, para k >1 (isto é, 1 - k < 0 ) a curva ne nível correspondente é o vazio.

Para k = 1 temos y = 0 e x é qualquer. Então a curva de nível é o eixo OX.

Para k <1, y assume os dois valores de (*) e x é qualquer. Então a curva de nível é constituída

das duas retas paralelas a OX

Representação gráfica 

iii) Intersecções com os eixos coordenados

Ç XOY: z = 0 Þ 1 - y² = 0 Þ y = ± 1. Ou seja, as duas retas y = 1 e y = -1.

Ç XOZ: y = 0 Þ 1 - 0² = z Þ z = 1. Ou seja, a reta z = 1.

Representação gráfica

Ç YOZ: x = 0 Þ 1 - y² = z . Neste caso, no plano YOZ, temos uma parábola.

Representação gráfica

II) Gráfico: Trata –se de uma superfície cilíndrica de geratrizes paralelas ao eixo OX tal que a parábola

do plano YOZ de equação z = 1-y² (figura logo acima) é uma diretriz (é o que acontece com funções

que independem de uma das variáveis x ou y )

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Exemplo 1.3 f (x, y) = y² - x²

i) D(f) =R²

Representação gráfica : Figura 1

ii) Curvas de nível

Seja a equação y² - x² = k. (*)

Se k = 0, temos x² = y² Û x = y ou x = -y, ou seja, as retas 1^a  e  2^a  bissetrizes.

Se k > 0, podemos escrever a equação (*) como

Neste caso temos uma hipérbole com focos sobre o eixo OY

Se k < 0 então – k > 0 , podemos escrever a equação (*) como

Neste caso temos também uma hipérbole com focos sobre o eixo OX

Representação gráfica

iii) Intersecções com os planos coordenados

Ç XOY: Já foi obtido, corresponde à curva no nível z = 0.

Ç XOZ: Fazendo y = 0 na equação z = y^{2 -} x² . obtém-se z = - x², equação de uma parábola

Representação gráfica

Ç YOZ: Fazendo x = 0 na equação z = y² - x² . obtém-se z = y², equação de uma parábola

Representação gráfica

II) Gráfico: Trata-se do parabolóide hiperbólico

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Exemplo 1. 4

Representação gráfica:

ii) Curvas de nível

Seja a equação

Como e^k é maior que zero para todo k, então a curva de nível em z = k é a elipse de equação

cujo semi-eixo no eixo OX é sempre três vezes maior que e o semi-eixo no eixo OY.

Representação gráfica

iii) Intersecções com os planos coordenados

Ç XOY: Significa a curva de nível em z = 0, ou seja a elípse de equação

Representação gráfica:

Veja figura anterior

Ç XOZ: Fazendo y = 0 na equação

obtém-se

Representação gráfica

Ç YOZ: Fazendo x = 0 na equação

obtém-se

Representação gráfica

II) Gráfico

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OBS: Dada a função z = f (x₁,..., x_n) a superfície de nível de f em z = k é definida de modo análogo

às curvas de nível para n = 2.

Exemplo 2: Determine e represente graficamente as superfícies de nível da função

f (x, y, z) = x² + y² + z²

Seja a equação

x² + y² + z² = k

Se k > 0 então temos

a equação de uma esfera de centro em (0, 0 ,0 ) e raio k^1/2

Se k = 0 então temos o ponto (0,0, 0).

Para Se k < 0 a superfície de nível é o vazio.

Representação gráfica das superfícies de nível

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