Integração por Partes

Índice
Proposição	Exemplo 1	Exemplo 2	Observação 1	Exemplo 3
Observação 2	Exemplo 4	Exemplo 5	Observação 3	Exemplo 6
Exemplo 7	Exemplo 8	Exemplo 9	Exemplo 10

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Em geral, não é verdade que

Proposição: Temos,

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Exemplo 1:

u = x Þ du = dx

dv = cos(x)dx Ü v = sen(x)

I = x.sen(x) + cos(x) + C

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Exemplo 2:

u = x² + 3x Þ du = (2x + 3)dx

dv = sen(x)dx Ü v = -cos(x)

u = 2x + 3 Þ du = 2.dx

dv = cos(x)dx Ü v = sen(x)

(Tente inverter a escolha. O que acontece?)

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Observação 1: De modo geral, em integrais das formas

onde f(x) é um polinômio, usamos a integração por partes fazendo, respectivamente,

u = f(x) Þ du = f´(x).dx

dv = cos(x)dx Ü v = sen(x)

u = f(x) Þ du = f´(x).dx

dv = sen(x)dx Ü v = -cos(x)

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Exemplo 3:

u = x Þ du = dx

dv = e^xdx Ü v = e^x

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Observação 2: De modo geral, em integrais da forma

onde f(x) é um polinômio tomamos

u = f(x) Þ du = f´(x).dx

dv = a^xdx Ü v = a^x/ln(a)

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Exemplo 4:

u = ln(x) Þ du = dx/x

dv = dx Ü v = x

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Exemplo 5:

u = ln(x) Þ du = dx/x

dv = dx Ü v = x

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Observação 3: De modo geral, em integrais da forma

onde f(x) é uma função polinomial, tomamos

dv = f(x) Ü v = uma primitiva de f(x)

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Exemplo 6:

u = arctg(x) Þ du = dx/(x² +1)

dv = dx Ü v = x

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Exemplo 7:

u = arctg(x) Þ du = dx/(x² +1)

dv = dx Ü v = x

dv = dx Ü v = x

u = e^ax Þ du = a.e^ax.dx

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Exemplo 10:

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Apêndice

Demonstração da proposição:

(u.v)´= u´.v + u.v´ Þ

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