Integrais de funções trigonométricas
"Existem integrais de funções trigonométricas, como por exemplo
que não podem ser escritas em termos de funções
elementares.
Com a substituição universal, integrais de funções da forma
R(sen(x),cos(x)), onde R indica uma função racional, são transformadas em integrais de funções racionais. Em alguns casos, outras substituições podem tornar o cálculo dessas integrais bem mais simples"
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1o Caso:
t = sen(x) Þ dx = cos(x)dx
t = cos(x) Þ dx = - sen(x)dx
De modo geral, na integral
onde m e n são inteiros e pelo menos um deles é ímpar, digamos m ímpar, tomamos m = 2p +1 e
com a substituição
t = cos(x) Þ dx = - sen(x)dx
obtemos uma integral de função racional. em t.
t = sen(x) Þ dx = cos(x)dx
Decompondo em frações parciais
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2o Caso:
cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) = cos2(x) - (1- cos2(x))
( I) |
cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) =(1 - sen2(x)) - sen2(x)
( II) |
De modo geral, na integral
onde m e n são inteiros não negativos e ambos pares usamos as fórmulas (I) e (II).
3o Caso:
Usaremos a notação R(sen(x),cos(x)) para indicar uma função racional de sen(x) e cos(x).
Se na função R(sen(x),cos(x)), sen(x) e cos(x) apresentam-se apenas com potências pares, com a mudança de variável t = tg(x), reescrevemos a integral
como uma integral de função racional em t.
Neste caso usaremos as fórmulas (III), (IV) e (V),
( III) |
( IV) |
( V) |
É claro que os exemplos do Caso 2 são também exemplos que se enquadram no Caso 3. Mas a aplicação do Caso 2 geralmente resulta em cálculos menos trabalhosos.
Substituindo tg(x) = t ...
Função racional própria.
Decompondo em frações parciais
\ A = C = 0 , B = -1, D = 2
4o Caso
Como no caso anterior, uma integral do tipopode ser reduzida a uma integral de função racional em t com a substituição t = tg(x)
\ A = 1/2, B = -1/2, C = ½
5o Caso – Substituição Universal
Esta técnica é chamada Substituição Universal por servir para resolver qualquer integral de função racional de sen(x) e cos(x). Portanto pode ser aplicada a qual quer um dos casos vistos anteriormente, apesar de sua aplicação geralmente, resultar em cálculos mais trabalhosos.
: Dada a integralcom a substituição t = tg(x/2) obtemos uma intergral de função racional em t.
Neste caso usamos as fórmulas (VI), (VII) e (VIII) a seguir
( VI) |
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( VII) |
( VIII) |
Decompondo em frações parciais
.... A = C = 0, B = -1/2, D = 1/2.
6o Caso
: Nas integrais dos tiposcom m e n Î R usamos diretamente as fórmulas da soma e subtração de seno e cosseno de dois arcos, com ilustraremos no exemplo seguinte.
sen(2x + 3x) = sen(2x)cos(3x) + sen(3x)cos(2x) (a)
sen(2x - 3x) = sen(2x)cos(3x) - sen(3x)cos(2x) (b)
De (a) + (b) temos
sen(2x + 3x) + sen(2x - 3x) =2.sen(2x)cos(3x) Þ
Þ sen(2x)cos(3x) = [sen(5x) + sen(-x)]/2 = [sen(5x) - sen(x)]/2
: Outra forma de calcular as integrais 1) 2) e 3) é usando as fórmulas que deduziremos a seguir a partir das fórmulas da soma e subtração de seno e cosseno de dois arcos.
sen(mx + nx) = sen(mx)cos(nx) + sen(mx)cos(nx) (a)
sen(mx - nx) = sen(mx)cos(nx) - sen(mx)cos(nx) (b)
De (a) + (b) temos
sen(mx + nx) + sen(mx - nx) =2.sen(mx)cos(nx)
\ sen(mx)cos(nx) = [sen((m + n)x) + sen((m – n)x)]/2 |
cos(mx + nx) = cos(mx)cos(nx) - sen(mx)sen(nx) (a)
cos(mx - nx) = cos(mx)cos(nx) + sen(mx)sen(nx) (b)
De (a) + (b) temos
cos(mx + nx) + cos(mx - nx) = 2. cos(mx)cos(nx)
\ cos(mx)cos(nx) = [cos((m + n)x) + cos((m– n)x)]/2 |
Ainda de (b) - (a) temos
cos(mx - nx) - cos(mx + nx) = 2. sen(mx)sen(nx)
\ sen(mx)sen(nx) = [cos((m - n)x) - cos((m + n)x)]/2 |