Integrais de funções trigonométricas

"Existem integrais de funções trigonométricas, como por exemplo

que não podem ser escritas em termos de funções elementares. 
Com a substituição universal, integrais de funções da forma R(sen(x),cos(x)), onde R indica uma função racional, são transformadas em integrais de funções racionais. Em alguns casos, outras substituições podem tornar o cálculo dessas integrais bem mais simples"

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Índice

Exemplo 1.1

Exemplo 1.2

Observação 1

Exemplo 1.3

Exemplo 2.1

Exemplo 2.2

Observação 2

Observação 3.1

Exemplo 3.1

Observação 3.2

Exemplo 3.2

Observação 4.1

Exemplo 4.1

Observação 5.1

Exemplo 5.1

Observação 6.1

Exemplo 6.1

Observação 6.2

Exemplo 6.2

 

 

 

1o Caso:

Exemplo 1.1

t = sen(x) Þ dx = cos(x)dx

 

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Exemplo 1.2

t = cos(x) Þ dx = - sen(x)dx

 

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Observação 1: De modo geral, na integral

onde m e n são inteiros e pelo menos um deles é ímpar, digamos m ímpar, tomamos m = 2p +1 e

com a substituição

t = cos(x) Þ dx = - sen(x)dx

obtemos uma integral de função racional. em t.

 

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Exemplo 1.3

t = sen(x) Þ dx = cos(x)dx

Decompondo em frações parciais

Continue!

 

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2o Caso:

Exemplo 2.1

cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) = cos2(x) - (1- cos2(x))

(I)

 

 

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Exemplo 2.2

cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) =(1 - sen2(x)) - sen2(x)

(II)

 

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Observação 2: De modo geral, na integral

onde m e n são inteiros não negativos e ambos pares usamos as fórmulas (I) e (II).

 

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3o Caso:

Observação 3.1: Usaremos a notação R(sen(x),cos(x)) para indicar uma função racional de sen(x) e cos(x).

 

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Exemplo 3.1

 

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Observação 3.2: Se na função R(sen(x),cos(x)), sen(x) e cos(x) apresentam-se apenas com potências pares, com a mudança de variável t = tg(x), reescrevemos a integral

como uma integral de função racional em t.

Neste caso usaremos as fórmulas (III), (IV) e (V),

(III)

 

(IV)

 

(V)

 

É claro que os exemplos do Caso 2 são também exemplos que se enquadram no Caso 3. Mas a aplicação do Caso 2 geralmente resulta em cálculos menos trabalhosos.

 

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Exemplo 3.2

Substituindo tg(x) = t ...

Função racional própria.

Decompondo em frações parciais

\ A = C = 0 , B = -1, D = 2 

 

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4o Caso

Observação 4.1: Como no caso anterior, uma integral do tipo

pode ser reduzida a uma integral de função racional em t com a substituição t = tg(x)

 

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Exemplo 4.1

\ A = 1/2, B = -1/2, C = ½

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5o Caso – Substituição Universal

Esta técnica é chamada Substituição Universal por servir para resolver qualquer integral de função racional de sen(x) e cos(x). Portanto pode ser aplicada a qual quer um dos casos vistos anteriormente, apesar de sua aplicação geralmente, resultar em cálculos mais trabalhosos.

Observação 5.1: Dada a integral

com a substituição t = tg(x/2) obtemos uma intergral de função racional em t.

Neste caso usamos as fórmulas (VI), (VII) e (VIII) a seguir

(VI)

 

(VII)

(VIII)

 

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Exemplo 5.1

Decompondo em frações parciais

.... A = C = 0, B = -1/2, D = 1/2.

 

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6o Caso

Observação 6.1: Nas integrais dos tipos

com m e n Î R usamos diretamente as fórmulas da soma e subtração de seno e cosseno de dois arcos, com ilustraremos no exemplo seguinte.

 

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Exemplo 6.1

sen(2x + 3x) = sen(2x)cos(3x) + sen(3x)cos(2x) (a)

sen(2x - 3x) = sen(2x)cos(3x) - sen(3x)cos(2x) (b)

De (a) + (b) temos

sen(2x + 3x) + sen(2x - 3x) =2.sen(2x)cos(3x) Þ

Þ sen(2x)cos(3x) = [sen(5x) + sen(-x)]/2 = [sen(5x) - sen(x)]/2

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Observação 6.2: Outra forma de calcular as integrais 1) 2) e 3) é usando as fórmulas que deduziremos a seguir a partir das fórmulas da soma e subtração de seno e cosseno de dois arcos.

sen(mx + nx) = sen(mx)cos(nx) + sen(mx)cos(nx) (a)

sen(mx - nx) = sen(mx)cos(nx) - sen(mx)cos(nx) (b)

De (a) + (b) temos

sen(mx + nx) + sen(mx - nx) =2.sen(mx)cos(nx)

\ sen(mx)cos(nx) = [sen((m + n)x) + sen((m – n)x)]/2

 

cos(mx + nx) = cos(mx)cos(nx) - sen(mx)sen(nx) (a)

cos(mx - nx) = cos(mx)cos(nx) + sen(mx)sen(nx) (b)

De (a) + (b) temos

cos(mx + nx) + cos(mx - nx) = 2. cos(mx)cos(nx)

\ cos(mx)cos(nx) = [cos((m + n)x) + cos((m– n)x)]/2

Ainda de (b) - (a) temos

cos(mx - nx) - cos(mx + nx) = 2. sen(mx)sen(nx)

\ sen(mx)sen(nx) = [cos((m - n)x) - cos((m + n)x)]/2

 

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Exemplo 6.2

 

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