Índice

Exemplo 1

Definições

Exemplo 2

O vetor velocidade e a reta tangente 

Exemplo 3

Exemplo 4

Exemplo 1: Determine equações paramétricas   para o círculo C₁ de raio 1 e centro na origem.

Temos, P = (x, y) Î C₁ Û x² + y² = 1

Para cada ponto P = (x, y) Î C₁, tomemos o ângulo t entre OX e OP tal que t Î [0, 2p ] . Então

são equações paramétricas dessa  curva.

Exemplo 2: Os dois pares de equações a seguir também parametrizam o círculo C₁ de raio 1 e centro na origem:

e

Em i) o ponto se desloca mais rápido, percorre o círculo  na metade do tempo, no sentido anti-horário. Em ii) o ponto se desloca mais devagar e em sentido horário.

Se as funções x(t) e y(t) são diferenciáveis em to Î I então 

1) o vetor velocidade da  curva parametrizada 

Este vetor tem  direção tangente à curva em to e  indica o sentido do movimento. 

2) a reta tangente à curva parametrizada ou a curva C em to é a reta que passa em (x(to),y(to)) e é paralela ao vetor velocidade. Ou seja tem equação vetorial

 

Exemplo 3 : Dado o círculo C de raio r > 0 e centro no ponto (h, k) determine equações paramétricas para  C. 

Temos,

P = (x, y) Î C Û (x – h)² + (y – k)² = r²

C ₁, dado anteriormente. Tomemos então

c) Vamos calcular a área do círculo C:
C não é gráfico de uma função
y = y(x)    e   nem    x = x(y).
Consideremos  as  duas  funções
y = y₂(x)  e  y = y₁(x)   cujos gráficos   são    respectivamente  o semi-círculo   superior     ( isto é,  y ³ k,   em azul na figura ao lado) e   o   semicírculo inferior    (y £ k, em vermelho).

Temos,  


Usando as equações paramétricas, fazemos a mudança de variável
x = 1 +.cos(t) Þ dx = - sen(t)dt
y = sen(t) 

Na 1ª integral:
 x = 0 Þ t = p   e    x = 2 Þ t = 0

Na 2ª integral :
 x = 0 Þ t = p   e     x = 2 Þ t = 2.p  
    

(Muita conta e nenhuma surpresa!)

Exemplo 5: Seja a elípse  E  com  centro no ponto (h, k), eixos paralelos aos eixos coordenados e semi-eixos a e b. 
a) Determinar equações paramétricas para E
b) Use as equações obtidas em A e calcule a área limitada pela elípse

a) Temos  P = (x, y) Î E Û

Tomemos então

Para cada ponto P = (x, y) Î E 

que são equações paramétricas de E

b) Vamos calcular a área A da região do plano limitada pela elípse E:
De modo análogo ao círculo, E não é gráfico de uma função y = y(x) e nem x = x(y). Consideremos  as   duas  funções     y = y₂(x)    e   y = y₁(x) cujos gráficos são respectivamente a semi-elípse superior ( isto é, y ³ k, em azul na figura) e a inferior (y £ k, em vermelho).

Exemplo 6: Seja a astróide A  representada ao lado, de equação cartesiana

a) Determinar equações paramétricas para A
b) Calcular a área limitada pela curva

a) Temos,

P = (x, y) Î A Û

Clique na figura para ter mais informações sobre a astróide

Tomemos então

Para cada ponto P = (x, y) Î A temos

que são equações paramétricas de A

b) Vamos calcular a área A da região do plano limitada pela astróide A:
De modo análogo, consideremos as duas funções y = y₁(x) e y = y₂(x) cujos gráficos

são respectivamente o arco superior (isto é, y ³ k, em azul na figura acima) e o inferior 
(y £ k, em vermelho). Temos,

Usando a simetria da figura em relação aos eixos OX e OY, então

Fazendo a mudança de variável

x = a.cos³(t) Þ dx = -a.3.cos²(t).sen(t)dt e y = a.sen³(t)

x = 0 Þ t = p /2

x = a Þ t = 0